Модель – это упрощённое представление о действительности.
Математическое моделирование сегодня может рассматриваться как новый способ исследования объектов реального мира - метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность без ущерба для моделируемого объекта, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в интересующих нас условиях. В то же время, вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов, изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим и практическим подходам.

Математическое моделирование – это подход, связанный с построением и использованием математической модели (отображение оригинала в виде математических объектов, переменных, функций, уравнений и неравенств) исследуемого явления, субъекта или объекта, а также систем, их включающих, с целью сокращения времени, сил и средств по предсказанию возможного будущего, повышения обоснованности и точности научных прогнозов, учёта их в практической деятельности.
Цель моделирования — исследование объекта на разных уровнях — от качественного до точного количественного, по мере осуществления сбора информации и развития модели.
Условно задачи математического моделирования, можно классифицировать по следующим группам:

• задачи детерминированного и стохастического программирования (в зависимости от присутствия вероятностных переменных);
• задачи динамического и статического программирования (в зависимости от учета фактора времени);
• задачи линейного и нелинейного программирования (в зависимости от вида целевой функции и ограничений).

Модели линейного программирования нашли широкое применение в различных сферах деятельности. Методы линейного программирования позволяют выбрать из множества альтернативных решений оптимальное, которое обеспечивает максимальное количественное/качественное значение для цели, показателя эффективности деятельности системы.
Большинство процессов реального мира описываются нелинейными функциями. Однако, в практике математического моделирования (если это возможно) нелинейные зависимости аппроксимируются линейными.
Мы рассмотрим простейшую линейную модель и сформулируем на ее примере базовые выводы.
Прежде чем мы приступим к рассмотрению примеров необходимо помнить, что прежде чем довериться полученным данным - необходимо задать модели множество дополнительных вопросов. Поскольку модель – упрощение действительности, всегда найдутся факторы, которые учесть не удалось. В случае наличия расхождений фактических результатов с моделью, необходимо внести соответствующие поправки в модель.

Производство

Итак, мы планируем производство 2-х видов стульев: A и B.
Производство каждой единицы продукции связано с использованием сырья:

Рыночная цена выпускаемой продукции, спрос на продукцию и минимальный объем производства имеют следующие значения:

Каждый тип сырья, участвует в производстве конечной продукции. Таким образом, доступное количество каждого типа сырья ограничивает количество выпускаемой продукции.

Существует 3 типа ограничений (для рассматриваемого производства):

1. Ограничения внешней среды (объем спроса, требования ТНПА, нормы законов/этики/морали);
2. Ограничения производства; (производительность, запасы сырья, временные/экономические и др. требования к процессам);
3. Обратные ограничения: Ограничения, вызванные влиянием на будущую деятельность последствий от текущей деятельности (снижение отпускных цен при насыщении рынка и т.д.).

Перенесем все эти ограничения на график для наглядности хода наших дальнейших рассуждений.

В результате нанесения на график всех ограничений  для нашей системы  образовалась область (ограничена штриховкой). Полученная область удовлетворяет всем условиям и ограничениям, наложенным на нашу систему. Все множество точек внутри данной области являются множеством всех возможных решений для описанных условий.

• Множество всех возможных решений, удовлетворяющих одновременно всем ограничениям, называется допустимой областью.
• Добавление в систему дополнительных ограничений либо сохраняет границы допустимой области, либо уменьшает ее и наоборот.

В нашей модели присутствуют ограничения, которые непосредственно ограничивают допустимую область (простые ограничения - выделены штриховкой), и скрытые ограничения, которые располагаются за пределами допустимой области (ограничение ресурса «Сиденье»). Простые ограничения – ограничивают область решения. Скрытые – не ограничивают ее. Скрытые ограничения могут стать простыми в случае ослабления простых ограничений (в случае увеличения спроса).
Скрытые ограничения – являются источником ухудшения эффективности системы. Во-первых, потому что вложенные в них средства заморожены (не участвуют в деятельности), во-вторых эти излишние ресурсы сами по себе требуют затрат на их хранение и обслуживание.
Имеющееся множество всех возможных решений допустимой области ставит перед нами непростую задачу выбора наилучшего варианта из доступного множества. Математической интерпретацией понятия «наилучший» является понятие min, max в зависимости от типа рассматриваемой задачи.
Область с минимальными значениями располагается на графике в нижнем левом углу, область максимальных значений – в верхнем правом.
Обратившись к нашему графику и рассматривая цель «максимизации», мы сталкиваемся с неопределенностью, - верхняя, правая область представлена 3 точками возможных значений: «C, D, G». Для выбора верного решения из доступных вариантов нам необходимо конкретизировать нашу цель. Для этого нам необходимо описать ее, - составить целевую функцию цели.
Целевая функция — является одним из параметров модели.
Для I случая выберем нашей целью: максимизация выручки от продажи выпущенной продукции. Целевая функция примет вид: 40А+56В -> max;
Графически данная функция является прямой линией с наклоном 40/56.

Ранее мы говорили, что область максимальных значений располагается в верхней, правой области. Графическое нахождение максимального значения целевой функции заключается в перемещении целевой функции в направлении максимизации (указано стрелочкой) в рамках допустимой области решения.

• Точка, в которой целевая функция соприкасается с ограничением называется угловой точкой. Угловая точка является точкой, где происходит изменение правил распределения ресурсов.
• Ограничения допустимой области, с которыми соприкасается целевая функция называются лимитирующими ограничениями. В случае изменения целей системы и ослабления действующих лимитирующих ограничений - новыми лимитирующими ограничениями могут становиться другие угловые точки. (Бытие определяет сознание, а ограничения определяют результат).

Таким образом, мы можем определить максимальное значение целевой функции в рамках допустимой области. Для нашего случая, в точке D (точка оптимума) находится максимальное значение целевой функции (прибыли). Точка D характеризует консенсус между ограничениями (что имеется) и целями (чего хочется) и наполняет его конкретным содержанием.

Максимизация выручки

Значение целевой функции в крайней правой точке соприкосновения целевой функции и допустимой области (точка D) составляет: 16160.

 Максимизация прибыли 

Допустим, что прибыль от реализации продукции составляет 3 и 7 BYN для табурета (А) и стула (В) соответственно. Тогда получение максимальной прибыли от деятельности возможно при следующем производственном плане(80 и 230 шт. соответственно).

Максимизация выпуска

В случае применения компанией стратегии максимизации объема продаж план производства составляет (200 и 120 шт. соответственно). Причем суммарный максимальный объем выпуска 320 изделий может принести различную выручку от 16 000 до 16 160 руб.

• В случае, если целевая функция совпадает с линией ограничения все точки этого ограничения определяют одинаковое значение для целевой функции.

Изменение коэффициентов целевой функции

Изменение коэффициентов целевой функции приводит к изменению ее угла наклона. Это может отразиться на оптимальном решении (30,56).

Простые ограничения могут становиться лимитирующими при изменении целей системы, смягчении лимитирующих ограничений, изменении угла наклона целевой функции.

Ослабление лимитирующих ограничений

Дальнейшее улучшение значения целевой функции возможно лишь при условии расширения границ допустимой области путем ослабления лимитирующих ограничений.

Ограничение DG является лимитирующим. Ослабим его - увеличим запас «Ножек» до 1400 шт.

В новых условиях (выручка +1,5%) наш план выпуска изменился существенно А(29%), B(45%).Что бы вновь увеличить значение целевой функции необходимо заново проанализировать лимитирующие ограничения модели и ослабить их.
Так, раз за разом мы расширяем границы допустимой области решения за счет смягчения лимитирующих ограничений.